高等数学 #3 Sequence

（1）收敛数列与其子列的关系 \[ \lim_{n\to\infty} a_n=b\Rightarrow \lim_{n\to \infty} a_{n_k}=b,\quad n,k=1,2,\cdots \] 证明： \[ \lim_{n\to\infty}a_n=b\iff(\forall \epsilon\gt0)(\exists N\gt 0)(n\gt N\to |a_n-b|\lt\epsilon) \] 设 \(K=N\)，则当 \[ k\gt K \] 时，即 \[ n_k\gt n_K=n_N\ge N \] 则 \[ (\forall\epsilon \gt0)(\exists K\gt 0)(k\gt K\to|a_{n_k}-b|\lt\epsilon)\iff \lim_{k\to\infty}a_{n_k}=b \]