多元微积分 #1 方向导数

一、一般的定义

\(f: U \mapsto \mathbb{R}\) ，是 \(\mathbb{R}^n\) 上某个开集 \(U\) 映射到实数 \(\mathbb{R}\) 的函数，给定 \(\mathbb{R}^n\) 内某点 \(\mathbf{x}=\{x_1,\cdots ,x_n\}\)，和某非零向量 \(\mathbf{v}=\{v_1,\cdots,v_n\}\)

定义一个依赖 \(\mathbf x\) 跟 \(\mathbf v\)，从 \(\mathbb R\) 映射到 \(\mathbb R\) 的 函数： \[ f_{\mathbf v}:t\mapsto f(\mathbf x+t\mathbf v) \] 若 \(f_{\mathbf v}\) 对 \(t\) 的微分在 \(t=0\) 处存在，那么可以定义 \(f\) 在点 \(\mathbf x\) 沿向量 \(\mathbf v\) 的方向导数为 \[ \nabla_{\mathbf v} f(\mathbf x)=\left. \frac{\mathrm{d}f_{\mathbf v}}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0}=\lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf x+t\mathbf v)-f(\mathbf x)}{t} \]

二、方向导数的计算

在三元的情况下，设 \[ \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2} \] 若三元函数 \(f\) 在点 \((x,y,z)\) 邻域内可微， \[ \frac{\partial f}{\partial \mathbf u}=\lim_{\rho \to 0} \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\rho} \] 分子全增量展开， \[ \lim_{\rho\to0}\,\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\Delta x}{\rho}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\Delta y}{\rho}+\frac{\partial f}{\partial z}\cdot\frac{\Delta z}{\rho}+\omega \] 即 \[ \frac{\partial f}{\partial \mathbf u}=\nabla f(\mathbf x)\cdot \mathbf u \]