多元微积分 #1 向量序列的极限

向量序列的极限：空间中的向量的离散运动

定义

\[ \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(a,b)\iff \lim_{n\to\infty}x_n=a,\,\lim_{n\to\infty}y_n=b\\ \iff (\forall \varepsilon\gt0)\,(\exist N(\varepsilon)\gt0)\, (\forall x_n)\,(\forall y_n)\,(n\gt N(\varepsilon) \implies\|(x_n,y_n)-(a,b)\|\lt\varepsilon) \]

证明

必要性

\[ \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(a,b)\implies\lim_{n\to\infty}x_n=a,\, \lim_{n\to\infty}y_n=b \]

由 \(\|(x_n,y_n)-(a,b)\|\lt\varepsilon\) 可知 \[ \sqrt{(x_n-a)^2+(y_n-b)^2}\lt\varepsilon \] 因为直角三角形斜边大于直角边，则显然 \[ |x_n-a|\lt\varepsilon\text{ and }|y_n-b|\lt\varepsilon \]

充分性

\[ \lim_{n\to\infty}x_n=a,\, \lim_{n\to\infty}y_n=b\implies\lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(a,b) \]

由条件得 \[ (\forall \varepsilon\gt0)\,(\exists N_1\gt0)\,(n\gt N_1\implies |x_n-a|\lt\varepsilon)\\ (\forall \varepsilon\gt0)\,(\exists N_2\gt0)\,(n\gt N_2\implies |y_n-b|\lt\varepsilon) \] 令 \[ |x_n-a|\lt\frac{1}{3}\varepsilon,\ |y_n-b|\lt\frac{2}{3}\varepsilon \] 上述条件同时成立，需满足 \[ n\gt\max\{N_1(\frac{1}{3}\varepsilon),N_2(\frac{2}{3}\varepsilon)\} \] 则 \[ \|(x_n,y_n)-(a,b)\|\lt|x_n-a|+|y_n-b|\lt\varepsilon \] 即 \[ (\forall \varepsilon\gt0)(\exist N\gt0)(n\gt N\implies \|(x_n,y_n)-(a,b)\|\lt \varepsilon) \]