多元微积分 #3 多元函数的极限
本文最后更新于 2025年3月3日 晚上
课堂笔记
（1）极限为什么在去心领域内讨论呢？
极限是一个过程。
在大部分讨论极限的场合，函数在目标点一般是无定义的。
比如，研究 \(f'(x)\)，差商函数 \(g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) 在 \(x_0\) 点显然无定义。
\[ f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
（2）什么是聚点（Accumulation Point）？（二维为例）
聚点就是极限点，在点 \(x\) 任意逼近的邻域内，总能找到集合中与它不同的点（可以被逼近）
一个点 \(x\) 的任意邻域内都有集合 \(A \setminus\{x\}\) 中的点
这个点 \(x\) 是可以被 \(A\) 逼近的，\(x\) 可以不在集合 \(A\) 内
形式化定义：
\((x_0,y_0)\) 是平面区域 \(D\in\mathbb{R}^2\) 的聚点，则 \[ (\forall \delta\gt0)\,(\mathring{U}((x_0,y_0),\delta)\cap D\ne\varnothing) \]
再看一维例子：开区间 \((0,1)\) 的聚点是 \(0,1\)
聚点性质：可以不属于集合
（3）为了定义多元函数极限，需要做哪两个准备？
- 范数（绝对值的推广，距离的度量）
- 聚点（可逼近）
定义|Definition
设二元函数 \(f(P)=f(x,y)\) 的定义域为 \(D\)，\(P_0(x_0,y_0)\) 是 \(D\) 的聚点。
如果存在 \(A\) ，对于任意的 \(\varepsilon\gt0\)，存在 \(\exist\delta\gt0\) ，使得 \(P(x,y)\in D\cap\mathring{U}\{P_0,\delta\}\) 时，都有 \[ |f(P)-A|=|f(x,y)-A|\lt\varepsilon \] 也记作 \[ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=A \]
定理|Theorem
二重极限的向量序列刻画：离散化
对于一元情况，已知： \[ \{x_n\}\in D,\,\lim_{n\to x_0}x_n=x_0 \] 若 \(x_n\to x_0\) ，有定理1： \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff \lim_{n\to\infty}f(x_n)=A \]
同样的，对于二元函数极限
\[ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A \] 若对于任意的向量序列，有 \((x_n,y_n)\to(x_0,y_0)\)，则有定理2： \[ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A\iff\lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=A \]
对二元情况作充分性证明：
已知二元极限，则翻译成定义即： \[ (\forall \varepsilon\gt0)\,(\exists\delta\gt 0)\,(0\lt\|(x,y)-(x_0,y_0)\|\lt\delta\to |f(x,y)-A|\lt \varepsilon) \] 再结合条件，任意向量序列 \((x_n,y_n)\to(x_0,y_0)\)，翻译成数学语言即： \[ (\forall \delta\gt0)\,(\exists N\gt0)\,(n\gt N\to \|(x_n,y_n)-(x_0,y_0)\|\lt\delta ) \] 综上所述，可推导出数列极限 \[ (\forall\varepsilon\gt0)\,(\exists N \gt 0)\,(n\gt N\to |f(x_n,y_n)-A|\lt\varepsilon) \]
二元情况作必要性证明：（反证法）
例题
（1）证明 \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\sin{\frac{1}{x^2+y^2}}=0 \]